Через точку, расположенную внутри треугольника, проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разбивают треугольник на три треугольника и три четырёхугольника. Пусть a, b и c – параллельные высоты трёх этих треугольников. Найдите параллельную им высоту исходного треугольника.

   Решение

Лёша нарисовал геометрическую картинку, обведя четыре раза свой пластмассовый прямоугольный треугольник, прикладывая короткий катет к гипотенузе и совмещая вершину острого угла с вершиной прямого. Оказалось, что "замыкающий" пятый треугольник – равнобедренный (см. рис., равны именно отмеченные стороны). Найдите острые углы Лёшиного треугольника?

   Решение

Темы:    [ Иррациональные уравнения ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Решите уравнение  

Решение

  Согласно неравенству Коши  
  Перемножим эти неравенства:     Равенство достигается тогда и только тогда, когда каждое из трёх неравенств обращается в равенство или когда значения обеих частей уравнения равны нулю. Значит,  x = y = 1  или  x = y = 0.

Ответ

(0, 0),  (1, 1).

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования