ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66025
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три окружности пересекаются в одной точке ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ проходит через центр O треугольника ABC. Окружности Гb и Гc построены на отрезках BP и CQ как на диаметрах.
Докажите, что окружности Гb и Гc пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на Ω, а другая – на ω.


Решение

  Пусть B2 и C2 – точки касания ω с AC и AB соответственно, а B1 и C1 – точки, диаметрально противоположные точкам B и C (см. рис.). Тогда точки B1 и C1 симметричны O относительно сторон AC и AB соответственно, откуда  ∠OB1P = ∠B1OP,  ∠OC1Q = ∠C1OQ,
OB1P + ∠OC1Q = 180° – ∠B2OC2 = ∠A = 60°.

  Пусть луч B1P пересекает Ω в точке B'. Тогда  ∠B'C1C = ∠B'AC = 60° – ∠BAB' = 60° – ∠BB1B' = 60° – ∠OB1P = ∠OC1Q = ∠CC1Q,  значит, точка Q лежит на прямой C1B'.
  ∠PB'B = ∠B1B'B = 90°,  то есть B' лежит на Гb. Аналогично B' лежит на Гc. Итак, Гb и Гc пересекаются в точке B', лежащей на Ω.
  Заметим, что точки B2 и C2 лежат на Гb и Гc соответственно. Пусть продолжение отрезка B'O за точку O пересекает ω в точке X. Тогда
OB·OB2 = OB'·OX = OC·OC2.  Первое из этих равенств означает, что точки B, B2, B' и X лежат на одной окружности, то есть X лежит на Гb. Аналогично X лежит на Гc. Значит, X и является второй точкой пересечения Гb и Гc, лежащей на ω.

Замечания

Пусть прямая PQ пересекает прямую BC в точке R. Аналогично можно показать, что окружность Гa с диаметром AR также проходит через две общие точки B' и X окружностей Гb и Гc.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2016/2017
этап
Вариант 4
задача
Класс 11
задача
Номер 11.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .