Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен P(x) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им k целых чисел n1, n2, ..., nk и отдельно сообщит значение выражения P(n1)P(n2)...P(nk). По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем k учитель сможет составить задачу такого вида так, чтобы многочлен, найденный детьми, обязательно совпал бы с задуманным?
На плоскости дано n3 точек. Пусть d — наибольшее
расстояние между парами этих точек. Докажите, что имеется
не более n пар точек, расстояние между которыми равно d.
Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите острый угол и большее основание трапеции, если меньшее основание равно 3, а высота трапеции равна 2.
Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?
|
|
 |
Условие
Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?
Решение
Оценка. Предположим, что среди рациональных чисел есть 0 и он выписан у верхней стороны таблицы. Пусть вдоль левой стороны таблицы выписано x иррациональных и 50 – x рациональных чисел. Тогда вдоль верхней стороны выписаны 50 – x иррациональных и x рациональных чисел. Заметим, что произведение ненулевого рационального и иррационального чисел иррационально. Значит, в таблице есть как минимум x(x – 1) + (50 – x)2 = 2x2 – 101x + 502 иррациональных чисел. Вершина параболы y = 2x2 – 101x + 502 находится в точке 25,25, поэтому минимальное значение этой функции в целой точке достигается при x = 25 и равно 25·24 + 252 = 1225.
Если же 0 заменить ненулевым рациональным числом, то количество иррациональных чисел может только увеличиться. Поэтому в таблице в любом случае не более 2500 – 1225 = 1275 рациональных чисел.
Пример, когда рациональных чисел 1275. Вдоль левой стороны поставим числа 1, 2, ..., 24, 25, а вдоль верхней – числа 0, 26, 27, ..., 49,
Тогда иррациональными будут только 25·24 + 252 = 1225 произведений ненулевого рационального и иррационального чисел.
Ответ
1275 произведений.
