Задача 66139

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Отношение площадей подобных треугольников ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Расторгуев В.

Два квадрата расположены, как показано на рисунке. Докажите, что площадь чёрного треугольника равна сумме площадей серых.

Решение

  Пусть ABCD и A₁B₁C₁D₁ – данные квадраты, F – точка пересечения отрезков AB и A₁D₁, G – точка пересечения отрезков CD и C₁D₁, а O – центр квадрата ABCD (см. рис.).

  Поскольку угол BOC прямой, то четырёхугольник BB₁CO – вписанный. Так как  BO = CO,  то B₁O – биссектриса угла BB₁C, то есть B₁D₁ проходит через точку O. Кроме того,  ∠D₁OD = ∠B₁OB = ∠B₁CB = ∠DGD₁,  то есть четырёхугольник DGOD₁ также вписанный. Значит,  OG ⊥ OD₁.  Аналогично  OF ⊥ OD₁,  то есть прямая FG проходит через O. Итак, прямые B₁D₁ и FG перпендикулярны и проходят через центр квадрата.
  Следовательно, отрезки CG и AF равны (они симметричны относительно O). Отрезки BF и AD₁ также равны (они получаются друг из друга поворотом на 90° вокруг O). Поэтому    В силу очевидного подобия треугольников CC₁G, FA₁B и FAD₁ отсюда следует утверждение задачи.

Замечания

Другие свойства конструкции, связанной с квадратами, можно прочитать в статье Е. Бакаева и А. Блинкова "Вспомогательные квадраты".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата	2017-04-16
класс
Класс	8-9
задача
Номер	5