ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66139
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Отношение площадей подобных треугольников ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Два квадрата расположены, как показано на рисунке. Докажите, что площадь чёрного треугольника равна сумме площадей серых.


Решение

  Пусть ABCD и A1B1C1D1 – данные квадраты, F – точка пересечения отрезков AB и A1D1, G – точка пересечения отрезков CD и C1D1, а O – центр квадрата ABCD (см. рис.).

  Поскольку угол BOC прямой, то четырёхугольник BB1CO – вписанный. Так как  BO = CO,  то B1O – биссектриса угла BB1C, то есть B1D1 проходит через точку O. Кроме того,  ∠D1OD = ∠B1OB = ∠B1CB = ∠DGD1,  то есть четырёхугольник DGOD1 также вписанный. Значит,  OGOD1.  Аналогично  OFOD1,  то есть прямая FG проходит через O. Итак, прямые B1D1 и FG перпендикулярны и проходят через центр квадрата.
  Следовательно, отрезки CG и AF равны (они симметричны относительно O). Отрезки BF и AD1 также равны (они получаются друг из друга поворотом на 90° вокруг O). Поэтому    В силу очевидного подобия треугольников CC1G, FA1B и FAD1 отсюда следует утверждение задачи.

Замечания

Другие свойства конструкции, связанной с квадратами, можно прочитать в статье Е. Бакаева и А. Блинкова "Вспомогательные квадраты".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата 2017-04-16
класс
Класс 8-9
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .