В треугольнике $ABC$ $\angle A=60^{\circ}$, $AD$ – биссектриса. Построен равносторонний треугольник $PDQ$ с высотой $DA$. Прямые $PB$ и $QC$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что $AK$ – симедиана треугольника $ABC$.

   Решение

В остроугольный треугольник ABC вписана окружность с центром I, касающаяся сторон AB, BC и CA в точках D, E и F соответственно. В четырёхугольники ADIF и BDIE вписаны окружности с центрами J₁ и J₂ соответственно. Прямые J₁J₂ и AB пересекаются в точке M. Докажите. что  CD ⊥ IM.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В остроугольный треугольник ABC вписана окружность с центром I, касающаяся сторон AB, BC и CA в точках D, E и F соответственно. В четырёхугольники ADIF и BDIE вписаны окружности с центрами J₁ и J₂ соответственно. Прямые J₁J₂ и AB пересекаются в точке M. Докажите. что  CD ⊥ IM.

Решение

Так как DJ₁ – биссектриса треугольника DIA, то  AJ₁ : J₁I = AD : ID.  Аналогично  IJ₂ : J₂B = DI : DB.  По теореме Менелая
^AF/_FC·^CE/_EB·^BM/_MA = ^AD/_DB·^BM/_MA = ^AJ₁/_J1I·^IJ₂/_J2B·^BM/_MA = 1,  то есть точка M лежит на прямой FE (см. рис.). Поскольку C и D – полюсы прямых EF и AB относительно вписанной окружности, то M – полюс прямой CD, следовательно,  CD ⊥ IM.

Источники и прецеденты использования