Задача 66238

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Периметр треугольника ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Соколов А.

Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны BA, BC в точках A₀, C₀ соответственно. Докажите, что периметр треугольника A₀OC₀ (O – центр описанной окружности треугольника ABC) равен AC.

Решение

Известно, что точки, симметричные H относительно сторон треугольника, лежат на его описанной окружности (см. задачу 55463), то есть расстояние от них до точки O равно радиусу R этой окружности. Следовательно, расстояние от H до точек O_a, O_c, симметричных O относительно BC и CA, также равно R. Поскольку и  BO_a = BO_c = R,  точки O_a, O_c лежат на прямой A₀C₀. Кроме того, BOCO_a и BOAO_c – ромбы, поэтому
CO_a || OB || AO_c,  то есть ACO_aO_c – параллелограмм и  O_aO_c = AC.  Но длина отрезка O_aO_c по построению равна периметру треугольника A₀OC₀ (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
тур
задача
Номер	11