ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66238
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Периметр треугольника ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Соколов А.

Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны BA, BC в точках A0, C0 соответственно. Докажите, что периметр треугольника A0OC0 (O – центр описанной окружности треугольника ABC) равен AC.


Решение

Известно, что точки, симметричные H относительно сторон треугольника, лежат на его описанной окружности (см. задачу 55463), то есть расстояние от них до точки O равно радиусу R этой окружности. Следовательно, расстояние от H до точек Oa, Oc, симметричных O относительно BC и CA, также равно R. Поскольку и  BOa = BOc = R,  точки Oa, Oc лежат на прямой A0C0. Кроме того, BOCOa и BOAOc – ромбы, поэтому
COa || OB || AOc,  то есть ACOaOc – параллелограмм и  OaOc = AC.  Но длина отрезка OaOc по построению равна периметру треугольника A0OC0 (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2015
тур
задача
Номер 11

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .