ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66254
Темы:    [ Трапеции (прочее) ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны трапеция ABCD и перпендикулярная её основаниям AD и BC прямая l. По l движется точка X. Перпендикуляры, опущенные из A на BX и из D на CX пересекаются в точке Y. Найдите ГМТ  Y.


Решение 1

  Пусть XU, YV– высоты треугольников BXC, AYD (рис. слева). Тогда  ∠YAV = ∠BXU  и  ∠YAD = ∠CXU  как углы с перпендикулярными сторонами. Следовательно, треугольник AVY подобен треугольнику XUB, а треугольник DVY – треугольнику XUC. Отсюда следует, что отношение
AV : VD = CU : UB  не зависит от точки X, то есть точка Y лежит на прямой l', перпендикулярной AD. Легко видеть, что все точки этой прямой принадлежат искомому ГМТ.

           


Решение 2

  Так как прямые BX и AY перпендикулярны, то согласно задаче 57134  YB² – YA² = YX² – AX².  Аналогично  DC² – YC² = DX2YX².  Сложив, получим, что  YB² – YC² = (DX² – AX²) + (AB² – DC²).  Разность в первой скобке постоянна по определению точки X. Следовательно (согласно той же задаче), все точки Y лежат на прямой, перпендикулярной BC.


Решение 3

  Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке P. Рассмотрим гомотетию с центром в точке P, переводящую отрезок BC в отрезок AD. Пусть X' – образ X. Прямые BX и CX переходят в параллельные прямые AX' и DX'. Следовательно, углы X'AY и X'DY – прямые, то есть точки A и D лежат на окружности с диаметром X'Y. При этом точка X' движется по фиксированной прямой l', параллельной l.
  Пусть Q, R – проекции точек X', Y на AD (рис. справа). Поскольку середина диаметра X'Y проецируется в середину хорды AD, то по теореме Фалеса  AQ = DR.  Точка Q фиксирована, следовательно, Y движется по прямой, проходящей через точку R и перпендикулярной основаниям.


Ответ

Прямая l', перпендикулярная основаниям трапеции и делящая отрезок AD в таком же отношении, в каком l делит CB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2016
класс
Класс 8
задача
Номер 8.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .