Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Отрезки CD и BE пересекаются в точке O. Пусть M и N – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники ADE и ODE. Докажите, что середина меньшей дуги DE лежат на прямой MN.

   Решение

Диагонали четырёхугольника ABCD равны и пересекаются в точке O. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD пересекаются в точке P, а серединные перпендикуляры к сторонам BC и AD – в точке Q. Найдите угол POQ.

   Решение

Темы:    [ Четырехугольники (прочее) ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Диагонали четырёхугольника ABCD равны и пересекаются в точке O. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD пересекаются в точке P, а серединные перпендикуляры к сторонам BC и AD – в точке Q. Найдите угол POQ.

Решение

  Так как  PA = PB  и  PC = PD,  треугольники PAC и PBD равны по трём сторонам (см. рис.). Следовательно, точка P равноудалена от прямых AC и BD, то есть лежит на биссектрисе одного из образованных этими прямыми углов. Аналогично точка Q лежит на биссектрисе одного из этих углов.
  Докажем, что эти точки лежат на разных биссектрисах. Биссектриса угла AOB пересекает серединный перпендикуляр к AB в середине дуги AB описанной окружности треугольника AOB. Эта же биссектриса пересекает серединный перпендикуляр к CD в середине дуги CD описанной окружности треугольника COD. Эти точки лежат по разные стороны от O, значит, P лежит на биссектрисе угла AOD. Аналогично Q лежит на биссектрисе угла AOB. А эти биссектрисы перпендикулярны.

Ответ

90°.

Источники и прецеденты использования