ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66308
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Признаки подобия ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
Сложность: 4
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Mudgal A.

В остроугольном треугольнике ABC углы B и C больше 60°. Точки P, Q на сторонах AB, AC таковы, что A, P, Q и ортоцентр треугольника H лежат на одной окружности; K – середина отрезка PQ. Докажите, что  ∠BKC > 90°.


Решение

  Пусть BB′, CC′ – высоты треугольника. Так как  ∠PHQ = 180° – ∠A = ∠B′HC′,  треугольники HB′Q и HC′P подобны. Значит, когда точка P равномерно движется по отрезку AB, точка Q также равномерно движется по AC, а тогда и точка K движется по некоторому отрезку. Поскольку
 ∠AHC′ = ∠C > ∠A = ∠CHB′  и  ∠AHB′ > ∠BHC′,  крайние точки этого отрезка соответствуют совпадению точки P с B или Q с C. Рассмотрим для определенности последний случай (см. рис.).

  В этом случае  ∠HCP = ∠HAP = ∠HCB,  то есть треугольник BCP равнобедренный и расстояние от K до середины BC равно BC'. Поскольку
B > 60°,  BC' < ½ BC  и K лежит внутри окружности с диаметром BC. Аналогично внутри этой окружности лежит второй конец отрезка, по которому движется точка K, а следовательно, и весь этот отрезок.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2017
класс
Класс 9
задача
Номер 9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .