Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
В клубе встретились двадцать джентльменов. Некоторые из них были в шляпах, а некоторые – без шляп. Время от времени один из джентльменов снимал с себя шляпу и надевал её на одного из тех, у кого в этот момент шляпы не было. В конце десять джентльменов подсчитали, что каждый из них отдавал шляпу большее количество раз, чем получал. Сколько джентльменов пришли в клуб в шляпах?
На плоскости дано множество из n9 точек. Для любых 9 его точек
можно выбрать две окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных
окружностях. Докажите, что все n точек лежат на двух окружностях.
Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества.)
В треугольнике ABC высота AH равна h,
BAC =
,
BCA =
.
Найдите площадь треугольника ABC.
Если дан ряд из 15 чисел
Найдите наименьшее натуральное число n, для которого n2 + 20n + 19 делится на 2019.
|
|
 |
Условие
Найдите наименьшее натуральное число n, для которого n2 + 20n + 19 делится на 2019.
Решение
Первое решение. Заметим, что число 2019 представляется как 3 ċ 673, где числа 3 и 673 – простые, а выражение n2 + 20n + 19 представляется как (n + 19)(n + 1).
Хотя бы одно из чисел n + 19 или n + 1 должно делиться на 3. Но так как эти числа отличаются на 18, то они оба делятся на 3. Кроме того, какое-то из них должно делиться на 673. Значит, какое-то из этих чисел делится на 2019.
Наименьшее n, при котором это возможно – это 2000.
Второе решение. Запишем условие в виде сравнения:
n2 + 20n + 19 ≡ 0 (mod 2019), откуда следует n2 + 20n + 19 ≡ 0 ⇔ n2 + 2n + 1 ≡ 0 ⇔ (n + 1)2 ≡ 0 (mod 3) и n2 + 20n + 19 ≡ 0 ⇔ (n + 1)(n + 19) ≡ 0 (mod 673). Первое сравнение имеет по модулю 3 единственное решение –1, второе по модулю 673 имеет два решения: –1 и –19. Учитывая, что числа 3 и 673 простые и –19 ≡ –1 (mod 3), получаем, что n ≡ –1 (mod 2019) или n ≡ –19 (mod 2019), откуда и следует ответ.
Ответ
2000.
