Задача 66551
|
|
 |
Условие
На графике функции $y=1/x$ Миша отмечал подряд все точки с абсциссами 1, 2, 3, ..., пока не устал. Потом пришла Маша и закрасила все прямоугольники, одна из вершин которых — это отмеченная точка, еще одна — начало координат, а еще две лежат на осях (на рисунке показано, какой прямоугольник Маша закрасила бы для отмеченной точки $P$). Затем учительница попросила ребят посчитать площадь фигуры, состоящей из всех точек, закрашенных ровно один раз. Сколько получилось?
Решение
Пусть Миша устал, отметив точку с абсциссой $n$. Посмотрим, как устроена фигура, состоящая из всех точек, закрашенных ровно один раз. На отрезке абсцисс $[i-1, i]$, где $i=1,\ldots,n-1$, это прямоугольник ширины $1$ с высотой $h_i=\frac{1}{i} - \frac{1}{i+1}$. На отрезке $[n-1; n]$ это прямоугольник ширины $1$ с высотой $h_n = \frac{1}{n}$. Тогда площадь фигуры $ S = 1 \cdot h_1 + 1 \cdot h_2 + \ldots + 1 \cdot h_n =\left(1 - \frac12\right) + \left(\frac12 - \frac13\right) + \ldots + \left(\frac1{n-1} - \frac1n\right) + \frac1n = 1.$Комментарии.
1. Можно провести рассуждение по индукции. Пусть Маша красит прямоугольник сразу, как только Миша отметил точку. Когда Миша отметит точку $(1;1)$, Маша закрасит прямоугольник площади $1$. Далее, когда Миша отмечает точку с абсциссой $n$, Маша закрашивает прямоугольник площади $\frac{1}{n}$ первый раз и площади $\frac{1}{n}$ — второй раз (остальное придётся на точки, уже закрашенные более одного раза). Таким образом, площадь фигуры, состоящей из всех точек, закрашенных ровно один раз, не изменяется.
2. Наглядно этот факт можно увидеть, «сдвинув» все прямоугольники к оси ординат.
