Задача 66580

Темы:    [ Окружности (прочее) ] [ Метрические соотношения ] [ Геометрические неравенства ] [ Построения с помощью вычислений ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Мухин Д.Г.

Митя купил на день рождения круглый торт диаметром 36 сантиметров и 13 тоненьких свечек. Мите не нравится, когда свечки стоят слишком близко, поэтому он хочет поставить их на расстоянии не меньше 10 сантиметров друг от друга. Поместятся ли все свечки на торте?

Решение

Разместим свечки так, как показано на рисунке.

Докажем, что отрезок $OA$ меньше радиуса, то есть самые удаленные от центра точки лежат внутри круга. В самом деле, $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $20$ см. Тогда его высота $AO = 10\sqrt3$ см $<18$ см, так как $\big(10\sqrt3\big)^2 = 300 < 324 = 18^2$.

Ответ

Поместятся.

Замечания

1. На самом деле $2 \cdot OA = 20\sqrt3$ см меньше даже $35$ см, поэтому такая конструкция поместится на торте диаметром $35$ см.

2. Приведем без доказательства несколько более сложную конструкцию, которая позволяет на торте диаметром $36$ см поместить $15$ свечек (а для 13 свечек при размещении 10 свечек по окружности и трех внутри круга достаточно торта диаметром 33 см).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	84
Год	2021
класс
Класс	8
задача
Номер	2