ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66629
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть $a$, $b$, $c$, $d$ и $n$ — натуральные числа. Докажите, что если числа $(a-b)(c-d)$ и $(a-c)(b-d)$ делятся на $n$, то и число $(a-d)(b-c)$ делится на $n$.

Решение

Первое решение. Раскроем скобки в каждом из выражений: $$(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd;$$ $$(a-c)(b-d)=ab-ad-bc+cd;$$ $$(a-d)(b-c)=ab-ac-bd+cd.$$ Теперь несложно заметить, что $$(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)-(a-b)(c-d),$$ откуда сразу следует утверждение задачи: разность двух чисел, делящихся на $n$, делится на $n$.

Второе решение. Заметим, что если из каждого из чисел $a$, $b$, $c$, $d$ вычесть одно и то же число, то значения их попарных разностей не изменятся.

Поэтому вычитая, если нужно, из всех чисел $d$, можно считать, что $d=0$. Таким образом, достаточно доказать, что если $(a-b)c$ и $(a-c)b$ делятся на $n$, то на $n$ делится и $a(b-c)$.

Это можно сделать так же, как и в первом решении, но мы воспользуемся сравнениями по модулю: первое условие говорит нам, что $ac\equiv bc\pmod n$, второе — что $ab\equiv bc\pmod n$, откуда $ab\equiv bc\equiv ac\pmod n$, т.е. $ab\equiv ac\pmod n$, что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2019
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .