Задача 66659

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Авторы: Полянский А., Полянский Н.

На сторонах $AB,BC,CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $C_1,A_1,B_1$ так, что отрезки $AA_1,BB_1,CC_1$ пересекаются в одной точке. Лучи $B_1A_1$ и $B_1C1$ пересекают описанную окружность в точках $A_2$ и $C_2$. Докажите, что точки $A,C,$ точка пересечения $A_2C_2$ с $BB_1$ и середина $A_2C_2$ лежат на одной окружности.

Решение

Пусть $K$ – точка пересечения $A_2C_2$ с $AC$, $M$ – середина $A_2C_2$, $N$ – вторая точка пересечения окружности $ACM$ с $A_2C_2$. Тогда $KM \cdot KN = KA \cdot KC = KA_2 \cdot KC_2$, т.е точки $A_2$, $C_2$, $K$, $N$ образуют гармоническую четверку. Спроецировав прямую $A_2C_2$ из точки $B_1$ на прямую $AA_1$, получим, что $A_1$, точка пересечения $AA_1$ с $B_1C_1$, $A$ и точка пересечения $BN$ с $AA_1$ также образуют гармоническую четверку. Значит, $BN$ проходит через точку пересечения прямых $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, т.е. совпадает с прямой $BB_1$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2018
Заочный тур
задача
Номер	18 [10-11 кл]