Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём  ace ≠ 0.  Известно, что значения выражений  |ax + b| + |cx + d|  и  |ex + f |  равны при всех значениях x.
Докажите, что  ad = bc.

   Решение

Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M – середина стороны AC, а W – середина дуги AB описанной окружности, не содержащей C. Оказалось, что  ∠AIM = 90°.  В каком отношении точка I делит отрезок CW?

   Решение

Докажите, что для любого натурального числа  n > 1  найдутся такие натуральные числа a, b, c, d, что  a + b = c + d = ab – cd = 4n.

   Решение

На плоскости отметили 30 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и провели семь красных прямых, не проходящих через отмеченные точки. Могло ли случиться, что каждый отрезок, соединяющий какие-то две отмеченные точки, пересекается хоть с одной красной прямой?

   Решение

Тема:    [ Системы точек и отрезков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На плоскости отметили 30 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и провели семь красных прямых, не проходящих через отмеченные точки. Могло ли случиться, что каждый отрезок, соединяющий какие-то две отмеченные точки, пересекается хоть с одной красной прямой?

Решение

Как известно (см., например, задачу 60323), $n$ прямых разбивают плоскость максимум на  $1 + \frac{n(n+1)}{2}$  областей. Значит, после проведения семи красных прямых образуется не более 29 областей. В какую-то из них попадут хотя бы две точки. Отрезок, их соединяющий не пересечёт ни одну прямую, поскольку области, очевидно, выпуклы.

Ответ

Не могло.

Замечания

1. Условие "никакие три точки не лежат на одной прямой" лишнее.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования