|
|
 |
Условие
Петя и Вася играют в игру. Для каждых пяти различных переменных из набора $x_{1}, ..., x_{10}$ имеется единственная карточка, на которой записано их произведение. Петя и Вася по очереди берут по карточке, начинает Петя. По правилам игры, когда все карточки разобраны, Вася присваивает переменным значения как хочет, но так, что $0 \leqslant x_{1} \leqslant ... \leqslant x_{10}$. Может ли Вася гарантированно добиться того, чтобы сумма произведений на его карточках была больше, чем у Пети?
Решение
Допустим, Петя не взял карточку, на которой написано $x_{6}x_{7}x_{8}x_{9}x_{10}$. Тогда Вася может взять эту карточку, а дальше брать любые карточки. При $x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=x_{5}=0$, $x_{6}=x_{7}=x_{8}=x_{9}=x_{10}=1$ сумма произведений у Пети будет равна 0, а у Васи – 1.
Если Петя сразу же взял карточку, на которой написано $x_{6}x_{7}x_{8}x_{9}x_{10}$, то Вася может взять карточку, на которой написано $x_{5}x_{7}x_{8}x_{9}x_{10}$, а следующим ходом одну из карточек $x_{4}x_{7}x_{8}x_{9}x_{10}$ или $x_{5}x_{6}x_{8}x_{9}x_{10}$ (хотя бы одна из них останется). Далее Вася может брать карточки как угодно.
В случае, если Вася взял карточку $x_{4}x_{7}x_{8}x_{9}x_{10}$, он присваивает переменным значения $x_{1}=x_{2}=x_{3}=0$, $x_{4}=x_{5}=x_{6}=1$, $x_{7}=x_{8}=x_{9}=x_{10}=100$. Тогда только на 21 карточке окажется ненулевое произведение, причём для трёх карточек $x_{4}x_{7}x_{8}x_{9}x_{10}$, $x_{5}x_{7}x_{8}x_{9}x_{10}$ и $x_{6}x_{7}x_{8}x_{9}x_{10}$ это произведение будет равно $10^8$, а для остальных не будет превосходить $10^6$. Таким образом, сумма у Васи будет не меньше $2\cdot 10^8$, а у Пети не больше $1,18\cdot 10^8$.
В случае, если Вася взял карточку $x_{5}x_{6}x_{8}x_{9}x_{10}$, он присваивает переменным значения $x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=0$, $x_{5}=x_{6}=x_{7}=1$, $x_{8}=x_{9}=x_{10}=10$.
Тогда только на шести карточках окажется ненулевое произведение, причём для трёх карточек $x_{5}x_{6}x_{8}x_{9}x_{10}$, $x_{5}x_{7}x_{8}x_{9}x_{10}$ и $x_{6}x_{7}x_{8}x_{9}x_{10}$ это произведение будет равно 1000, а для остальных трёх – 100. Таким образом, сумма у Васи будет не меньше 2000, а у Пети не больше 1300.
Ответ
Может.
Замечания
8 баллов
