Задача 66768
|
|
 |
Условие
Сфера единичного радиуса касается всех ребер некоторой треугольной призмы. Чему может быть равен объем этой призмы? Ответ округлите до сотых.Решение
Сфера пересекает основание призмы по окружности, которая касается всех ребер основания, т.е. по вписанной окружности треугольника. Следовательно, центр сферы лежит на перпендикуляре к основанию, проходящем через центр этой окружности как для верхнего, так и для нижнего основания. Но эти перпендикуляры параллельны! Значит (раз центр сферы лежит на них обоих), эти перпендикуляры совпадают. А призма прямая, так как при ортогональной проекции центр вписанной окружности одного основания переходит в соответствующий центр другого.Раз призма прямая, ее боковые грани прямоугольники. В каждый из них можно вписать окружность – значит, это квадраты. Поэтому все ребра призмы равны, а ее основания – правильные треугольники.
Радиус описанной окружности основания равен 1, так как при ортогональной проекции на плоскость основания наша сфера переходит в окружность, содержащую все вершины треугольника – т.е. в его описанную окружность. Тогда сторона основания равна $\sqrt3$ (и такую же длину имеет боковое ребро), а площадь основания $\frac{3\sqrt{3}}{4}$. Значит, объем призмы равен $\sqrt{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{9}{4}$.
