Две окружности радиуса R пересекаются в точках M и N. Пусть A и B — точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку MN с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой MN. Докажите, что MN² + AB² = 4R².

   Решение

Построить прямоугольный треугольник, зная, что часть катета от вершины острого угла до точки касания с вписанной окружностью равна данному отрезку m , а противолежащий этому катету угол равен данному углу α .

   Решение

Темы:    [ Параллелограммы (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Окружность $\omega_1$ проходит через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ и касается лучей $CB$, $CD$. Окружность $\omega_2$ касается лучей $AB$, $AD$ и касается внешним образом $\omega_1$ в точке $T$. Докажите, что $T$ лежит на диагонали $AC$.

Решение

Пусть $T'$ – точка пересечения $\omega_1$ с лучом $AC$. При гомотетии с центром $T'$, переводящей $C$ в $A$, лучи $CB$, $CD$ переходят в лучи $AD$, $AB$ соответственно. Поэтому окружность $\omega_1$ переходит в окружность $\omega'$, касающуюся этих лучей и $\omega_1$ в точке $T'$. Следовательно, $\omega'$ совпадает с $\omega_2$, а $T'$ – с $T$.

Источники и прецеденты использования