|
|
 |
Условие
Четырехугольник $ABCD$ без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром $I$. Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Известно, что $AB\cdot CD=4IK\cdot IM$. Докажите, что $BC\cdot AD=4IL\cdot IN$.Решение
Построим точку $J$ такую, что $\triangle AJB \sim \triangle DIC$. Тогда четырехугольник $AJBI$ вписанный. Пусть $\omega$ – его описанная окружность, а $IK$ вторично пересекает $\omega$ в точке $J'$. Поскольку $KJ:AB=IM:CD$, $IK\cdot KJ'= KA\cdot KB=AB^2/4$ и $4 IK\cdot IM= AB\cdot CD$, получаем, что $KJ=KJ'$.Если $AB$ – диаметр $\omega$, то $\angle AIB=90^\circ$ и $AD \| BC$ – противоречие. Значит, $AB$ – не диаметр $\omega$. Если $J=J'$, то $\angle ICB=\angle AIK$, $\angle IDA=\angle BIK$ и $$BC = r \; (\operatorname{ctg}\angle IBK+\operatorname{ctg}\angle AIK)= r \; (\operatorname{ctg}\angle IAK+\operatorname{ctg}\angle BIK)=AD,$$ противоречие. Тогда, поскольку $KJ = KJ'$, то $J$ и $J'$ симметричны относительно серединного перпендикуляра к $AB$.
Далее, $\triangle AIK \sim \triangle J'BK \simeq \triangle JAK \sim \triangle IDM$. Отсюда и из равенств $\angle IAK=\angle IAD$, $\angle IDM=\angle IDA$ получаем, что $\triangle AIK \sim \triangle ADI \sim \triangle IDM$. Аналогично, $\triangle BIK \sim \triangle BCI \sim \triangle ICM$.
Пусть $P$ и $Q$ – середины $IA$ и $IB$. Тогда $\triangle IND \sim \triangle KPI \simeq \triangle IQK \sim \triangle CLI$. Следовательно, $IN:ND=CL:LI$ и $4IL\cdot IN=AD\cdot BC$, ч.т.д.
Замечания
Описанный четырехугольник $ABCD$ без равных и без параллельных сторон удовлетворяет условию задачи тогда и только тогда, когда центр вписанной окружности $I$ совпадает с центром тяжести вершин $A$, $B$, $C$, и $D$.Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
| год | |
| Год | 2019 |
| Заочный тур | |
| задача | |
| Номер | 18 [10-11 кл] |
