Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пирог имеет форму правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Из середин сторон проведены прямолинейные надрезы длины 1. Доказать, что при этом от пирога будет отрезан какой-нибудь кусок.

Вниз   Решение


В республике математиков выбрали число  α > 2  и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в αk рублей при каждом натуральном k. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Через точку A и середины B', C' сторон AB и AC проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром I вписанной окружности треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение


Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.

ВверхВниз   Решение


Корабль в тумане пытается пристать к берегу. Экипаж не знает, в какой стороне находится берег, но видит маяк, находящийся на маленьком острове в $10$ км от берега, и понимает, что расстояние от корабля до маяка не превышает $10$ км (точное расстояние до маяка неизвестно). Маяк окружен рифами, поэтому приближаться к нему нельзя. Может ли корабль достичь берега, проплыв не больше $75$ км? (Береговая линия – прямая, траектория до начала движения вычерчивается на дисплее компьютера, после чего автопилот ведет корабль по ней.)

Вверх   Решение

Задача 66804
Тема:    [ Построения (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Корабль в тумане пытается пристать к берегу. Экипаж не знает, в какой стороне находится берег, но видит маяк, находящийся на маленьком острове в $10$ км от берега, и понимает, что расстояние от корабля до маяка не превышает $10$ км (точное расстояние до маяка неизвестно). Маяк окружен рифами, поэтому приближаться к нему нельзя. Может ли корабль достичь берега, проплыв не больше $75$ км? (Береговая линия – прямая, траектория до начала движения вычерчивается на дисплее компьютера, после чего автопилот ведет корабль по ней.)

Решение

Пусть корабль находится в точке $K$, маяк – в точке $M$, а $K'$ – точка на луче $KM$ такая, что $KK'=10$ км. Чтобы корабль причалил к берегу, выпуклая оболочка его траектории должна содержать круг с центром $M$ и радиусом $KK'$, но, поскольку положение точки $M$ на отрезке $KK'$ неизвестно, то выпуклая оболочка должна содержать объединение всех таких кругов с центрами на $KK'$. Очевидно, что это условие будет и достаточным.

Пусть $\omega$, $\omega'$ – окружности с центрами $K$, $K'$ соответственно и радиусами, равными $KK'$, $CC'$ и $DD'$ – общие касательные к этим окружностям, $X$ – точка на прямой $CC'$ такая, что $\angle XKC=30^{\circ}$, $XA$ – касательная к $\omega$, $B$ – середина дуги $C'D'$, лежащей вне $\omega$, $Y$ – проекция $B$ на $CC'$. Тогда путь $KXADD'BY$ удовлетворяет условию, а его длина равна $10 (\sqrt{3}+2\pi/3+1+\pi/2+1) < 74$ км.


Ответ

Да.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2019
класс
Класс 9
задача
Номер 9.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .