ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Пирог имеет форму правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Из середин сторон проведены прямолинейные надрезы длины 1. Доказать, что при этом от пирога будет отрезан какой-нибудь кусок. В республике математиков выбрали число α > 2 и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в αk рублей при каждом натуральном k. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз? В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Через точку A и середины B', C' сторон AB и AC проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром I вписанной окружности треугольника ABC. Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке. Корабль в тумане пытается пристать к берегу. Экипаж не знает, в какой стороне находится берег, но видит маяк, находящийся на маленьком острове в $10$ км от берега, и понимает, что расстояние от корабля до маяка не превышает $10$ км (точное расстояние до маяка неизвестно). Маяк окружен рифами, поэтому приближаться к нему нельзя. Может ли корабль достичь берега, проплыв не больше $75$ км? (Береговая линия – прямая, траектория до начала движения вычерчивается на дисплее компьютера, после чего автопилот ведет корабль по ней.) |
Задача 66804
УсловиеКорабль в тумане пытается пристать к берегу. Экипаж не знает, в какой стороне находится берег, но видит маяк, находящийся на маленьком острове в $10$ км от берега, и понимает, что расстояние от корабля до маяка не превышает $10$ км (точное расстояние до маяка неизвестно). Маяк окружен рифами, поэтому приближаться к нему нельзя. Может ли корабль достичь берега, проплыв не больше $75$ км? (Береговая линия – прямая, траектория до начала движения вычерчивается на дисплее компьютера, после чего автопилот ведет корабль по ней.)
РешениеПусть корабль находится в точке $K$, маяк – в точке $M$, а $K'$ – точка на луче $KM$ такая, что $KK'=10$ км. Чтобы корабль причалил к берегу, выпуклая оболочка его траектории должна содержать круг с центром $M$ и радиусом $KK'$, но, поскольку положение точки $M$ на отрезке $KK'$ неизвестно, то выпуклая оболочка должна содержать объединение всех таких кругов с центрами на $KK'$. Очевидно, что это условие будет и достаточным. Пусть $\omega$, $\omega'$ – окружности с центрами $K$, $K'$ соответственно и радиусами, равными $KK'$, $CC'$ и $DD'$ – общие касательные к этим окружностям, $X$ – точка на прямой $CC'$ такая, что $\angle XKC=30^{\circ}$, $XA$ – касательная к $\omega$, $B$ – середина дуги $C'D'$, лежащей вне $\omega$, $Y$ – проекция $B$ на $CC'$. Тогда путь $KXADD'BY$ удовлетворяет условию, а его длина равна $10 (\sqrt{3}+2\pi/3+1+\pi/2+1) < 74$ км. ОтветДа. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке