|
|
 |
Условие
Даны две окружности, пересекающиеся в точках $P$ и $Q$. Произвольная прямая $l$, проходящая через $Q$, повторно пересекает окружности в точках $A$ и $B$. Прямые, касающиеся окружностей в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $C$, а биссектриса угла $CPQ$ пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Докажите, что все точки $D$, которые можно так получить, выбирая по-разному прямую $l$, лежат на одной окружности.
Решение
Пусть $A$ лежит на одной окружности, $B$ – на другой. Два различных случая расположения приведены на рисунках. Решение годится для всех случаев.
Из теоремы об угле между хордой и касательной следует равенство ориентированных углов ∠($AC, AP$) = ∠($AQ, QP$) = ∠($BC, BP$). Следовательно, точка $C$ лежит на описанной окружности треугольника $APB$.Поэтому ∠($CP, PB$) = ∠($CA, AB$) = ∠($AP, PQ$), т.е биссектрисы неориентированных углов $CPQ$ и $BPA$ совпадают и $PD$ – биссектриса треугольника $PAB$. Нетрудно видеть, что все эти треугольники подобны друг другу и одинаково ориентированы. Значит, все треугольники $PAD$ также подобны друг другу и при движении точки $A$ по окружности точка $D$ также движется по окружности.
Замечания
5 баллов
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| номер/год | |
| Номер | 41 |
| Год | 2019/20 |
| неизвестно | |
| Вариант | весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс |
| задача | |
| Номер | 5 |
