Василиса Премудрая решила запереть Кощея в прямом коридоре, разделенном тремя проходами на четыре комнаты, причем в каждом проходе, облокотившись на одну из стен, стоит толстый усталый стражник. Каждый раз, когда Кощей переходит из одной комнаты в другую, стражник переходит к противоположной стене и облокачивается на нее. Если все стражники облокотятся на одну стену, она не выдержит и рухнет, а Кощей выйдет на свободу. Может ли Василиса изначально так прислонить стражников и разместить Кощея, чтобы он никогда не смог выбраться?

   Решение

Темы:    [ Процессы и операции ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Три богатыря бьются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает Змею половину всех голов и ещё одну, Добрыня Никитич – треть всех голов и ещё две, Алёша Попович – четверть всех голов и ещё три. Богатыри бьют по одному в каком хотят порядке, отрубая каждым ударом целое число голов. Если ни один богатырь не может ударить (число голов получается нецелым), Змей съедает всех троих. Смогут ли богатыри отрубить все головы 41!-головому Змею?

Решение

  Если число голов чётно, богатыри могут уменьшить его, сохранив чётность. Действительно, если голов  $4n - 2$,  то после удара Ильи их станет  $2n - 2$.
  Если же голов 4$n$, то после удара Алёши их станет  $3n - 3$,  а после следующего за ним удара Добрыни их станет  $2n - 4$.
  Богатыри могут так действовать, пока не останется четыре или две головы, для которых хватит одного удара Алёши или Ильи соответственно.

Ответ

Смогут.

Замечания

Если число голов нечётно, но кратно 3, то богатыри также справятся со Змеем. А вот если оно не кратно ни 2, ни 3, то богатыри гибнут сразу.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования