ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66853
Темы:    [ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли вписанный в окружность N-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов, если
а) N=19;
б) N=20?

Решение

а) Пусть такой 19-угольник существует. Рассмотрим вписанные углы, опирающиеся на его последовательные стороны. Все они разные, и сумма каждых двух углов, соответствующих соседним сторонам, целая (она дополняет один из углов 19-угольника до $180^{\circ})$. Рассмотрим два случая.

1) Все эти вписанные углы выражаются целым числом градусов. Тогда их сумма не меньше $1^{\circ}+2^{\circ}+...+19^{\circ} > 180^{\circ}$, что невозможно.

2) Есть угол с ненулевой дробной частью $\varepsilon$. Тогда у соседнего угла дробная часть равна $1-\varepsilon$, у следующего – снова $\varepsilon$ и т.д. Поскольку 19 – нечётное число, то $\varepsilon=\frac{1}{2}$. Но тогда сумма углов, опирающихся на все стороны, не меньше $(\frac{1}{2}^{\circ}+1\frac{1}{2}^{\circ}+2\frac{1}{2}^{\circ}+... 18\frac{1}{2}^{\circ})=\frac{1}{2} (1^{\circ}+3^{\circ}+5^{\circ}+... 37^{\circ})=\frac{1}{2}\cdot 361^{\circ} > 180^{\circ}$. Снова противоречие.

б) Существует.

Пример. Пусть вписанные углы, опирающиеся на последовательные стороны 20-угольника, равны $4 \frac{1}{3}^{\circ}, 4\frac{2}{3}^{\circ}, 5\frac{1}{3}^{\circ}, 5\frac{2}{3}^{\circ}, ..., 13\frac{1}{3}^{\circ}, 13\frac{2}{3}^{\circ}$. Сумма этих чисел равна $2(4^{\circ}+5^{\circ}+... 13^{\circ})+10^{\circ}=180^{\circ}$. Каждый угол 20-угольника равен $180^{\circ}$ минус сумма двух соседних из указанного списка углов, а все эти суммы целые.

Ответ

а) Не существует. б) Существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 41
Год 2019/20
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .