|
|
 |
Условие
Трапеция $ABCD$ вписана в окружность. Её основание $AB$ в 3 раза больше основания $CD$. Касательные к описанной окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что угол $KDA$ прямой.
Решение 1
Пусть $DH$ – высота трапеции, тогда $ADCH$ – параллелограмм (рис. слева). Пусть $M$ – его центр. Тогда $KM$ – серединный перпендикуляр к диагонали $AC$. По теореме об угле между хордой и касательной ∠$KAD$ = ∠$ABD$ = ∠$BAC$ = ∠$KMD$ (последние два угла – углы с взаимно перпендикулярными сторонами). Значит, точки $A, K, D$ и $M$ лежат на одной окружности, откуда ∠$KDA$ = ∠$KMA$ = 90°.
Решение 2
Проведём высоту $CY$ (рис. справа). Равнобедренные треугольники $ADY$ и $AKC$ подобны (угол $KAC$ как угол между касательной и хордой равен углу $DAY$, опирающемуся на такую же дугу). Поэтому подобны и треугольники $ADK$ и $AYC$ (по углу и двум сторонам). Следовательно, ∠$ADK$ = 90°.
Замечания
9 баллов
