|
|
 |
Условие
Глеб задумал натуральные числа $N$ и $a$, где $a < N$ . Число $a$ он написал на доске. Затем Глеб стал проделывать такую операцию: делить $N$ с остатком на последнее выписанное на доску число и полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число 0, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие $N$ и $a$, чтобы сумма выписанных на доске чисел была больше 100$N$?
Решение
Как известно (см. задачу 34918), найдётся такое $m$, что $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{m+2}$ > 100.
Положим $N = a + a_{1} = 2 a_{1} + a_{2} = 3 a_{2} + a_{3} = ... = ma_{m-1} + a_m = (m + 2)a_m$. Тогда $a > \frac{N}{2}$, $a_1 > \frac{N}{3}$, $a_2 > \frac{N}{4}, ..., a_{m-1} > \frac{N}{m+1}, a_m > \frac{N}{m+2}$ и $a + a_{1} + a_{2} + ... + a_m > 100N$.
Осталось найти решение указанной системы в целых числах. Заметим, что $a = a_{1} + a_{2}$, $a_{1} = a_{2} + \frac{a_3}{2}, a_{2} = a_{3} + \frac{a_4}{3}, ..., a_{m-2} = a_{m-1} + \frac{a_m}{m-1}, a_{m-1}=\frac{(m+1)a_m}{m}$. Поэтому при $a_m = m!$ все числа
$a_{m-1}, a_{m-2}, ..., a_{1}, a, N$ будут целыми. Действительно, $a_{m-1}$ делится на ($m - 1$)!, $a_{m-2}$ – на ($m - 2$)!, $a_{m-3}$ – на ($m -3$)! и т.д.
Ответ
Мог.
Замечания
12 баллов
