Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы было четыре телефона, каждый из которых соединен с тремя другими, восемь телефонов, каждый из которых соединен с шестью, и три телефона, каждый из которых соединен с пятью другими?
Через данную точку на плоскости проводятся всевозможные прямые, пересекающие данную окружность. Найти геометрическое место середин получившихся хорд.
Дана таблица размером 8×8, изображающая шахматную доску. За каждый шаг разрешается поменять местами любые два столбца или любые две строки. Можно ли за несколько шагов сделать так, чтобы верхняя половина таблицы стала белой, а нижняя половина – чёрной?
Докажите, что ½ (x² + y²) ≥ xy при любых x и y.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4 м. Найдите радиус описанной окружности.
За круглым столом сидело а) 15; б) 20 человек. Они хотят пересесть так, чтобы те, кто раньше сидел рядом, теперь сидели бы через два человека. Возможно ли это?
Две прямые пересекаются в точке A под углом, не равным 90o ; B и C — проекции точки M на эти прямые. Найдите угол между прямой BC и прямой, проходящей через середины отрезков AM и BC .
Пусть BH – высота прямоугольного треугольника ABC (∠B=90∘). Вневписанная окружность треугольника ABH, противолежащая вершине B, касается прямой AB в точке A1; аналогично определяется точка C1. Докажите, что AC∥A1C1.
На окружности даны 10 точек. Сколькими способами можно провести пять отрезков, не имеющих общих точек, с концами в данных точках?
Группа из восьми теннисистов раз в год разыгрывала кубок по
олимпийской системе (игроки по жребию делятся на 4 пары;
выигравшие делятся по жребию на две пары, играющие в полуфинале; их победители играют финальную партию).
Через несколько лет оказалось, что каждый с каждым сыграл ровно один раз.
Докажите, что
а) каждый побывал в полуфинале более одного раза;
б) каждый побывал в финале.
|
|
 |
Условие
Группа из восьми теннисистов раз в год разыгрывала кубок по
олимпийской системе (игроки по жребию делятся на 4 пары;
выигравшие делятся по жребию на две пары, играющие в полуфинале; их победители играют финальную партию).
Через несколько лет оказалось, что каждый с каждым сыграл ровно один раз.
Докажите, что
а) каждый побывал в полуфинале более одного раза;
б) каждый побывал в финале.
Решение
По условию каждый сыграл 7 партий, а всего было сыграно 8⋅7:2=28 партий. Поскольку каждый год играется 7 партий, кубок разыгрывался 4 раза.
а) Игрок, сыгравший в полуфинале не более одного раза, за 4 года сыграл не более 3+3⋅1=6 партий, что противоречит условию.
б) Всего в четырёх финалах было 2⋅4=8 мест. Если кто-то не играл в финале, то кто-то другой должен был сыграть в финале как минимум дважды. Но тогда он сыграл не меньше 2⋅3+2⋅1=8 партий, что противоречит условию.
