На плоскости даны две окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, касающиеся внешним образом. На окружности $\omega_{1}$ выбран диаметр $AB$, а на окружности $\omega_{2}$ выбран диаметр $CD$. Рассмотрим всевозможные положения точек $A$, $B$, $C$ и $D$, при которых $ABCD$ — выпуклый описанный четырёхугольник, и пусть $I$ — центр его вписанной окружности. Найдите геометрическое место точек $I$.

   Решение

В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые две соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые две фишки, между которыми стоят ровно три фишки. За какое наименьшее количество рублей можно переставить фишки в обратном порядке?

   Решение

Существуют ли 100 таких натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, что куб одного из них равен сумме кубов остальных?

   Решение

Тема:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Существуют ли 100 таких натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, что куб одного из них равен сумме кубов остальных?

Решение

Первое решение. Заметим, что $3^3+4^3+5^3=6^3$ (проверьте!). Домножив это равенство на $2^3$, получим: $6^3+8^3+10^3=12^3$. Заменяя $6^3$ на сумму из предыдущего равенства, получаем пять кубов, дающих в сумме куб: $3^3+4^3+5^3+8^3+10^3=12^3$. Домножив новое равенство на $2^3$ и снова заменяя $6^3$ на сумму трёх кубов, получаем 7 кубов, дающих в сумме куб: $$3^3+4^3+5^3+8^3+10^3+16^3+20^3=24^3.$$

Действуя далее аналогично, мы сможем получить и 99 кубов, дающих в сумме куб, что и требуется в задаче.

Второе решение. Воспользуемся формулой $1^3+2^3+\ldots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2$. Заметим, что $$11^3+12^3+\ldots+109^3 = (1^3+2^3+\ldots+109^3)-(1^3+2^3+\ldots+10^3) =\left(\frac{109\cdot110}2\right)^2-\left(\frac{10\cdot11}2\right)^2 =$$ $$=\frac{109^2\cdot110^2-110^2}4 = 110^2\cdot\frac{109^2-1}4 = 110^2\cdot\frac{110\cdot108}4 = 110^3\cdot27 = 330^3.$$

Ответ

существуют.

Источники и прецеденты использования