Задача 66920

Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Рябов П.

Две окружности пересекаются в точках $P$ и $R$. Через точку $P$ проведены прямые $l_1$, $l_2$. Прямая $l_1$ вторично пересекает окружности в точках $A_1$ и $B_1$. Касательные в этих точках к описанной окружности треугольника $A_1RB_1$ пересекаются в точке $C_1$. Прямая $C_1R$ пересекает $A_1B_1$ в точке $D_1$. Аналогично определены точки $A_2$, $B_2$, $C_2$, $D_2$. Докажите, что окружности $D_1D_2P$ и $C_1C_2R$ касаются.

Решение

Докажем, что они касаются в точке $R$. Заметим, что точки $D_1$, $D_2$, $P$, $R$ лежат на одной окружности, так как $D_1R$ и $D_2R$ – соответствующие линии в подобных треугольниках $A_1RB_1$ и $A_2RB_2$. Пусть касательные к окружностям в точках $A_1$ и $A_2$ пересекаются в точке $X$, а в $B_1$ и $B_2$ в точке $Y$. Заметим, что $\angle A_1XA_2=\angle A_1RA_2$ (углу поворота), следовательно точки $A_1$, $X$, $R$, $A_2$ лежат на одной окружности. Аналогично точки $X$, $R$, $C_1$, $C_2$, $Y$ лежат на одной окружности. Чтобы доказать, что окружности касаются достаточно доказать, что $D_1D_2\parallel C_1C_2$. Имеем $\angle D_1D_2R=\angle D_1PR=\angle RXC_1=\angle RC_2C_1$, следовательно, прямые параллельны, ч.т.д.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2020
Заочный тур
задача
Номер	8 [8-9 кл]