ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66958
Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
[ Круглые тела (прочее) ]
[ Максимальное/минимальное расстояние ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый многогранник и точка $K$, не принадлежащая ему. Для каждой точки $M$ многогранника строится шар с диаметром $MK$. Докажите, что в многограннике существует единственная точка, принадлежащая всем таким шарам.

Решение

Пусть $P$ – ближайшая к $K$ точка многогранника. Поскольку многогранник выпуклый, точка $P$ определена однозначно и многогранник лежит по одну сторону от плоскости, проходящей через $P$ и перпендикулярной $PK$. Поэтому шар с диаметром $PK$ не имеет с многогранником общих точек, отличных от $P$, а сама точка $P$ принадлежит любому шару с диаметром $KM$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2021
Заочный тур
задача
Номер 22 [10-11 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .