Задача 66958

Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Круглые тела (прочее) ] [ Максимальное/минимальное расстояние ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Авторы: Протасов В.Ю., Нестеров Ю.

Дан выпуклый многогранник и точка $K$, не принадлежащая ему. Для каждой точки $M$ многогранника строится шар с диаметром $MK$. Докажите, что в многограннике существует единственная точка, принадлежащая всем таким шарам.

Решение

Пусть $P$ – ближайшая к $K$ точка многогранника. Поскольку многогранник выпуклый, точка $P$ определена однозначно и многогранник лежит по одну сторону от плоскости, проходящей через $P$ и перпендикулярной $PK$. Поэтому шар с диаметром $PK$ не имеет с многогранником общих точек, отличных от $P$, а сама точка $P$ принадлежит любому шару с диаметром $KM$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2021
Заочный тур
задача
Номер	22 [10-11 кл]