На трех гранях куба провели диагонали так, что получился треугольник. Найти углы этого треугольника.

   Решение

Через вершину A равностороннего треугольника ABC проведена прямая, не пересекающая отрезок BC. По разные стороны от точки A на этой прямой взяты точки M и N так, что  AM = AN = AB  (точка B внутри угла MAC). Докажите, что прямые AB, AC, BN, CM образуют вписанный четырёхугольник.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. На стороне $BC$ нашлись точки $X$ и $Y$ такие, что $AX=BX$ и $AY=CY$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $AXY$, проходит через центры описанных окружностей треугольников $AOB$ и $AOC$.

Решение

Из условия следует, что $OX$ – серединный перпендикуляр к $AB$, т.е. центр $O_1$ описанной окружности треугольника $AOB$ лежит на $OX$ и $\angle AO_1X=\angle AO_1B/2=\pi-2\angle C=\angle AYX$ (см. рис.).

При других расположениях точек рассуждение аналогично.

Источники и прецеденты использования