|
|
 |
Условие
Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности $\omega$ с центром $I$. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, $AB$ и $CD$ – в точке $E$, $AD$ и $BC$ – в точке $F$. Точка $K$ на описанной окружности треугольника $EIF$ такова, что $\angle IKP=90^{\circ}$. Луч $PK$ пересекает $\omega$ в точке $Q$. Докажите, что описанная окружность треугольника $EQF$ касается $\omega$.
Решение
Пусть $W$, $X$, $Y$, $Z$ – точки касания сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ с $\omega$. Тогда $P$ – точка пересечения диагоналей четырехугольника $WXYZ$. При инверсии относительно $\omega$ точки $E$, $F$ переходят в середины $M$, $N$ этих диагоналей, а окружность $IEF$ в прямую Гаусса $MN$. Так как точка $K$ лежит на окружности с диаметром $IP$, инверсная точка $K'$ лежит на поляре точки $P$ – прямой $EF$, которая является также радикальной осью $\omega$ и окружности с диаметром $IP$, на которой лежат точки $M$, $N$. Прямая $PK$ при инверсии переходит в окружность с диаметром $IK'$, следовательно, $K'Q$ касается $\omega$, а значит, и окружности $MNQ$.
