Задача 66976

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Касающиеся окружности ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Прямая Гаусса ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Dadgarnia A.

Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности $\omega$ с центром $I$. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, $AB$ и $CD$ – в точке $E$, $AD$ и $BC$ – в точке $F$. Точка $K$ на описанной окружности треугольника $EIF$ такова, что $\angle IKP=90^{\circ}$. Луч $PK$ пересекает $\omega$ в точке $Q$. Докажите, что описанная окружность треугольника $EQF$ касается $\omega$.

Решение

Пусть $W$, $X$, $Y$, $Z$ – точки касания сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ с $\omega$. Тогда $P$ – точка пересечения диагоналей четырехугольника $WXYZ$. При инверсии относительно $\omega$ точки $E$, $F$ переходят в середины $M$, $N$ этих диагоналей, а окружность $IEF$ в прямую Гаусса $MN$. Так как точка $K$ лежит на окружности с диаметром $IP$, инверсная точка $K'$ лежит на поляре точки $P$ – прямой $EF$, которая является также радикальной осью $\omega$ и окружности с диаметром $IP$, на которой лежат точки $M$, $N$. Прямая $PK$ при инверсии переходит в окружность с диаметром $IK'$, следовательно, $K'Q$ касается $\omega$, а значит, и окружности $MNQ$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2021
класс
Класс	9
задача
Номер	9.8