|
|
 |
Условие
Луноход ездит по поверхности планеты, имеющей форму шара с длиной экватора 400 км. Планета считается полностью исследованной, если луноход побывал на расстоянии по поверхности не более 50 км от каждой точки поверхности и вернулся на базу (в исходную точку). Может ли луноход полностью исследовать планету, преодолев не более 600 км?Решение
Отметим на планете полюсы $N$ и $S$, и пусть точки $A$, $B$, $C$ и $D$ делят соответствующий экватор на четыре равных дуги, как на рисунке ниже.
Рассмотрим замкнутый путь $A\rightarrow B\rightarrow S\rightarrow D\rightarrow C\rightarrow N\rightarrow A$ по поверхности, состоящий из дуг больших окружностей с центрами в центре планеты. Этот путь состоит из 6 одинаковых дуг длиной в 1/4 экватора, поэтому длина пути составляет 600 км.
Покажем, что луноход побывал на расстоянии не более 50 км от каждой точки. Поверхность планеты разобьём на 8 одинаковых сферических треугольников с вершинами в отмеченных точках. Луноход побывал во всех вершинах и во всех точках хотя бы одной стороны каждого треугольника. Так как расстояние по поверхности от полюса до экватора 100 км, то поверхность планеты разбивается на экваториальный пояс – точки, удалённые от экватора на расстояние не более 50 км, – и две полярные шапки – точки, удалённые от полюсов на расстояние не более 50 км. На рисунке ниже зелёная часть треугольника исследована луноходом, так как он проехал вдоль стороны, а красная исследована, так как он побывал в вершине.
Ответ
Может.Замечания
Докажем более сильное утверждение: луноход может полностью исследовать планету, преодолев не более 570 км.
Снова разобьём поверхность планеты на 8 равных треугольников. Средней параллелью треугольника назовём часть линии, параллельной стороне треугольника и соединяющей середины двух других сторон. На рисунке выше средняя параллель треугольника лежит на границе красной и зелёной областей. Пусть луноход прошёл по средним параллелям всех треугольников, как на рисунке ниже. Вся поверхность планеты будет исследована, потому что любая точка треугольника находится на расстоянии не более 50 км от некоторой точки средней параллели.
Наконец, докажем, что длина окружности, на которой лежит средняя параллель, в $\sqrt2$ раз меньше длины экватора. Из этого будет следовать, что длина пути равна $\frac{800}{\sqrt2}$, что примерно равно 566.
Пусть $N$ и $E$ – вершины треугольника, $O$ – центр планеты. Радиус окружности, на которой лежит средняя параллель, равен расстоянию $r$ от середины $M$ дуги $NE$ до прямой $ON$. Из рисунка ниже видно, что $r =\frac{OE}{\sqrt2}$. Значит, радиус меньшей окружности в $\sqrt2$ меньше радиуса планеты, что и требовалось.
Интересно было бы узнать, какова наименьшая возможная длина такого пути. Можно доказать (правда, не совсем элементарно), что она заведомо больше 500.
