ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 67013
Темы:    [ Простые числа и их свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите наибольшее натуральное $n$, обладающее следующим свойством: для любого простого нечетного $p$, меньшего $n$, разность $n - p$ также является простым числом.

Решение

Действительно, $10=3+7=5+5$. Докажем, что числа, большие 10, не годятся. Пусть $n$ – число, большее 10. Заметим, что числа 3, 5, 7 дают разные остатки при делении на 3. Тогда числа $n-3$, $n-5$, $n-7$ дают разные остатки при делении на 3, значит, одно из них делится на 3. Осталось заметить, что это число больше, чем 3, поэтому оно составное. Противоречие.

Ответ

10.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 85
Год 2022
класс
Класс 8
задача
Номер 2
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 85
Год 2022
класс
Класс 10
задача
Номер 1
олимпиада
Название Турнир городов
год/номер
Номер 43
Дата 2021/22
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .