Условие
Найдите наибольшее натуральное $n$, обладающее следующим
свойством: для любого простого нечетного $p$, меньшего $n$, разность
$n - p$ также является простым числом.
Решение
Действительно, $10=3+7=5+5$. Докажем, что числа,
большие 10, не годятся. Пусть $n$ – число, большее 10.
Заметим, что числа 3, 5, 7 дают разные остатки при делении на 3.
Тогда числа $n-3$, $n-5$, $n-7$ дают разные остатки при делении на 3,
значит, одно из них делится на 3. Осталось заметить, что это число
больше, чем 3, поэтому оно составное. Противоречие.
Ответ
10.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Номер |
43 |
|
Дата |
2021/22 |
|
вариант |
|
Вариант |
весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс |
|
задача |
|
Номер |
1 |
|
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
85 |
|
Год |
2022 |
|
класс |
|
Класс |
8 |
|
задача |
|
Номер |
2 |
|
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
85 |
|
Год |
2022 |
|
класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
1 |
