В выпуклом пятиугольнике ABCDE с единичными сторонами середины P, Q сторон AB, CD и середины S, T сторон BC, DE соединены отрезками PQ и ST. Пусть M и N – середины отрезков PQ и ST. Найдите длину отрезка MN.

   Решение

На окружности отметили 4n точек и окрасили их через одну в красный и синий цвета. Точки каждого цвета разбили на пары, а точки каждой пары соединили отрезками того же цвета. Докажите, что если никакие три отрезка не пересекаются в одной точке, то найдется по крайней мере n точек пересечения красных отрезков с синими.

   Решение

Верно ли, что из любого выпуклого четырёхугольника можно вырезать три уменьшенные вдвое копии этого четырёхугольника?

   Решение

Темы:    [ Четырехугольники (прочее) ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Верно ли, что из любого выпуклого четырёхугольника можно вырезать три уменьшенные вдвое копии этого четырёхугольника?

Решение

Докажем, что можно выбрать такой угол четырёхугольника, что сумма его с каждым из соседних углов не превосходит развёрнутого угла. Действительно, сумма каких-то двух соседних углов не превосходит 180°. Пусть это углы $A$ и $D$. Тогда, если  $\angle A + \angle B$ ≤ 180°,  то мы получили нужное, а если  $\angle A + \angle B$ > 180°,  то  $\angle C + \angle D$ < 180°,  и нам подходят углы $A, D, C$. В итоге можно так назвать вершины четырёхугольника $A, B, C, D$, что  $\angle A + \angle B$ ≤ 180°,  $\angle A + \angle D$ ≤ 180°.  Пусть $K, L, M, N, P, Q$ – середины отрезков $AB, BC, CD, DA, AC, BD$ соответственно. Четырёхугольники $AKPN, KBLQ, NQMD$ – искомые копии. Докажем, что они не перекрываются. Действительно,  $\angle AKP + \angle QKB = \angle A + \angle B$ ≤ 180°,  $\angle DNQ + \angle ANP$ ≤ 180°.

Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования