Задача 67053
|
|
 |
Условие
Докажите для любых натуральных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ неравенство $\bigg\lfloor\frac{a_1^2}{a_2}\bigg\rfloor + \bigg\lfloor\frac{a_2^2}{a_3}\bigg\rfloor + ... + \bigg\lfloor\frac{a_n^2}{a_1}\bigg\rfloor \geqslant a_1 + a_2 + ... +a_n$. ([$x$] – целая часть числа $x$.)
Решение
Запишем очевидное неравенство $(a_k$ – $a_{k+1})^2$ ≥ 0 в виде $\frac{a_k^2}{a_{k+1}} \geqslant 2a_k$ – $a_{k+1}$. Так как число справа целое, то и $\bigg\lfloor\frac{a_k^2}{a_{k+1}}\bigg\rfloor \geqslant 2a_k$ – $a_{k+1}$. Сложив эти неравенства, получим требуемое.
Замечания
9 баллов
