|
|
 |
Условие
Назовём расположенный в пространстве треугольник ABC удобным, если для любой точки P вне его плоскости из отрезков PA, PB и PC можно сложить треугольник. Какие углы может иметь удобный треугольник?
Решение
Докажем, что неравносторонний треугольник не подходит. Предположим противное, пусть такой треугольник ABC есть и в нём AB \ne AC, причём длины этих сторон различаются хотя бы на 3d. Рассмотрим точку P, расположенную на перпендикуляре к плоскости ABC, проходящем через точку A, на расстоянии ε от A. Тогда PB = \sqrt{AB^2 + \varepsilon^2}, PC = \sqrt{AC^2 + \varepsilon^2}. Можно выбрать ε настолько малым, чтобы PB и PC отличались соответственно от AB и AC меньше чем на d и чтобы ε было меньше d. Тогда стороны PB и PC будут различаться более чем на d, а длина стороны PA меньше d. Противоречие с неравенством треугольника.
Покажем теперь, что равносторонний треугольник удобен.
Способ 1. Пусть AB = BC = CA. Отметим на лучах PA, PB, PC точки A_1, B_1, C_1 так, чтобы выполнялись равенства:
AB\cdot PA_1 = PB\cdot PC, BС\cdot PB_1 = PC\cdot PA, CA\cdot PC_1 = PB\cdot PA. Треугольники APB и B_1PA_1 подобны по углу и отношению двух сторон, откуда A_1B_1 = \frac{AB\cdot PA_1}{PB} = PC. Аналогично вычисляя длины остальных сторон, получаем, что треугольник A_1B_1C_1 искомый.
Способ 2. Пусть Q – произвольная точка плоскости ABC, R – образ точки Q при повороте на 60° вокруг A, переводящем B в C. Тогда RQ = QA, QB = RC. Значит, тр-к QRC (возможно, вырожденный) имеет стороны RQ, RC и QC, равные соответственно QA, QB и QC, то есть эти отрезки удовлетворяют нестрогим неравенствам треугольника.
Опустим перпендикуляр PQ на плоскость треугольника ABC. Пусть QA = a, QB = b, QC = c, PQ = x > 0. По доказанному a + b \geqslant c, то есть a^2 + b^2 + 2ab\geqslant c^2. Неравенство PA + PB > PC равносильно неравенству
a^2 + b^2 + 2x^2 + 2\sqrt{(a^2 + x^2)(b^2 + x^2)} > c^2 + x^2,
которое выполнено, так как 2x^2 > x^2 и 2\sqrt{(a^2 + x^2)(b^2 + x^2)} > 2ab при x > 0.
Ответ
Все углы по &60°.
