Фильтр
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Многочлен третьей степени имеет три различных корня строго между 0 и 1. Учитель сообщил ученикам два из этих корней.
Ещё он сообщил все четыре коэффициента многочлена, но не указал, в каком порядке эти коэффициенты идут. Обязательно ли можно восстановить третий корень?
Назовём расположенный в пространстве треугольник $ABC$ удобным, если для любой точки $P$ вне его плоскости из отрезков $PA$, $PB$ и $PC$ можно сложить треугольник. Какие углы может иметь удобный треугольник?
Дан клетчатый квадрат $n\times n$, где $n>1$. Кроссвордом будем называть любое непустое множество его клеток, а словом – любую горизонтальную и любую вертикальную полоску (клетчатый прямоугольник шириной в одну клетку), целиком состоящую из клеток кроссворда и не содержащуюся ни в какой большей полоске из клеток кроссворда (ни горизонтальной, ни вертикальной). Пусть $x$ – количество слов в кроссворде, $y$ – наименьшее количество слов, которыми можно покрыть кроссворд. Найдите максимум отношения $x/y$ при данном $n$.
На доске написана функция $\sin x + \cos x$. Разрешается написать на доске производную любой написанной ранее функции, а также сумму и произведение любых двух написанных ранее функций, так можно делать много раз. В какой-то момент на доске оказалась функция, равная для всех действительных $x$ некоторой константе $c$. Чему может равняться $c$?
Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Выберем произвольную окружность $\omega$, касающуюся описанной окружности треугольника $ABC$ внутренним образом в точке $B$ и не пересекающую прямую $AC$. Отметим на $\omega$ точки $P$ и $Q$ так, чтобы прямые $AP$ и $CQ$ касались $\omega$, а отрезки $AP$ и $CQ$ пересекались внутри треугольника $ABC$. Докажите, что все полученные таким образом прямые $PQ$ проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности $\omega$.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 67064 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67070 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67076 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67078 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67079 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
