ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 67064  (#1)

Темы:   [ Теорема Виета ]
[ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Кубические многочлены ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Многочлен третьей степени имеет три различных корня строго между 0 и 1. Учитель сообщил ученикам два из этих корней. Ещё он сообщил все четыре коэффициента многочлена, но не указал, в каком порядке эти коэффициенты идут. Обязательно ли можно восстановить третий корень?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67070  (#2)

Темы:   [ Стереометрия (прочее) ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Назовём расположенный в пространстве треугольник $ABC$ удобным, если для любой точки $P$ вне его плоскости из отрезков $PA$, $PB$ и $PC$ можно сложить треугольник. Какие углы может иметь удобный треугольник?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67076  (#3)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Теория графов (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Дан клетчатый квадрат $n\times n$, где $n>1$. Кроссвордом будем называть любое непустое множество его клеток, а словом – любую горизонтальную и любую вертикальную полоску (клетчатый прямоугольник шириной в одну клетку), целиком состоящую из клеток кроссворда и не содержащуюся ни в какой большей полоске из клеток кроссворда (ни горизонтальной, ни вертикальной). Пусть $x$ – количество слов в кроссворде, $y$ – наименьшее количество слов, которыми можно покрыть кроссворд. Найдите максимум отношения $x/y$ при данном $n$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67078  (#4)

Темы:   [ Производная (прочее) ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
[ Инварианты ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

На доске написана функция $\sin x + \cos x$. Разрешается написать на доске производную любой написанной ранее функции, а также сумму и произведение любых двух написанных ранее функций, так можно делать много раз. В какой-то момент на доске оказалась функция, равная для всех действительных $x$ некоторой константе $c$. Чему может равняться $c$?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67079  (#5)

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Выберем произвольную окружность $\omega$, касающуюся описанной окружности треугольника $ABC$ внутренним образом в точке $B$ и не пересекающую прямую $AC$. Отметим на $\omega$ точки $P$ и $Q$ так, чтобы прямые $AP$ и $CQ$ касались $\omega$, а отрезки $AP$ и $CQ$ пересекались внутри треугольника $ABC$. Докажите, что все полученные таким образом прямые $PQ$ проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности $\omega$.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .