|
|
 |
Условие
На доске написана функция sin $x$ + cos $x$. Разрешается написать на доске производную любой написанной ранее функции, а также сумму и произведение любых двух написанных ранее функций, так можно делать много раз. В какой-то момент на доске оказалась функция, равная для всех действительных $x$ некоторой константе $c$. Чему может равняться $c$?
Решение
Любая функция, полученная описанным способом, – многочлен от sin $x$ и cos $x$ с целыми коэффициентами. Докажем это индукцией по числу шагов. База очевидна.
Шаг индукции. Производная многочлена с целыми коэффициентами – многочлен с целыми коэффициентами; аналогичное верно для суммы и произведения. При $x = 0$ синус и косинус принимают целые значения, поэтому значение многочлена от них с целыми коэффициентами – целое, то есть $c$ целое.
Положим $f(x) = \sin x + \cos x$. Запишем на доску $f'(x) = \cos x - \sin x$, $f''(x) = - \sin x - \cos x$, $f'''(x) = - \cos x + \sin x$. Тогда $f^2(x) + f'^2(x)$ = 2, $f(x)f''(x) + f'(x)f'''(x)$ = –2. Суммируя такие функции, получаем все чётные константы.
Заметим, что $ \sin x+\cos x = \sin x + \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 2\sin \frac{\pi}{4}\cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$. Поэтому все функции, которые можно получить, – это многочлены от $\sqrt{2}\cos (x - \frac{\pi}{4})$ и $\sqrt{2}\sin (x - \frac{\pi}{4})$ с целыми коэффициентами и нулевым свободным членом. При $x = \frac{\pi}{4}$ остаются лишь члены с косинусом (равным 1). Коэффициенты при чётных степенях косинуса чётны, а при нечётных либо иррациональны, либо равны нулю. Целочисленное значение получится, если сумма коэффициентов при нечётных степенях равна 0, но тогда значение чётно.
Ответ
Любому чётному числу.
