|
|
 |
Условие
Многочлен третьей степени имеет три различных корня строго между 0 и 1. Учитель сообщил ученикам два из этих корней. Ещё он сообщил все четыре коэффициента многочлена, но не указал, в каком порядке эти коэффициенты идут. Обязательно ли можно восстановить третий корень?Решение 1
Пусть $a$,$b$,$c$,$d$ – коэффициенты многочлена от старшего к младшему, $\alpha,\beta$ – известные корни, $\gamma$ – неизвестный корень. Прежде всего заметим, что так как все корни между 0 и 1, то в силу теоремы Виета коэффициент $d$ – наименьший из коэффициентов по абсолютной величине. Рассмотрим всевозможные расстановки коэффициентов $a$,$b$,$c$, положим свободный член равным $d$ и проверим, будут ли $\alpha$ и $\beta$ корнями получившихся многочленов. При правильной расстановке ответ будет утвердительным. Предположим, что подойдёт и другая расстановка. Вычтем полученный многочлен из правильного и обозначим их разность $P(x)$. Её свободный член равен 0, поэтому $P(0)=0$. Сумма коэффициентов также равна 0, поэтому $P(1)=0$. Кроме того, $P(\alpha)=P(\beta)=0$. Таким образом, многочлен степени не выше 3 имеет 4 различных корня. Противоречие.
Решение 2
Пусть $a$,$b$,$c$,$d$ – коэффициенты многочлена от старшего к младшему, $\alpha,\beta$ – известные корни, $\gamma$ – неизвестный корень. Прежде всего заметим, что так как все корни между 0 и 1, то в силу теоремы Виета коэффициент $d$ – наименьший из коэффициентов по абсолютной величине. Поскольку все корни многочлена положительны, знаки коэффициентов чередуются. Поэтому, зная $d$, определяем $b$. Если найти $a$, то определяется и $c$. Заметим, что $a\gamma=\frac{-d}{\alpha\beta}$. Поскольку $b=-a(\alpha+\beta+\gamma)$, можно найти $a(\alpha+\beta)$. Так как $\alpha$ и $\beta$ известны, отсюда определяется $a$.
