Задача 67121

Темы:    [ Поворотная гомотетия (прочее) ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Яковлев Б.

Дан равнобедренный треугольник $ABC$, $AB=AC$, $P$ – середина меньшей дуги $AB$ окружности $ABC$, $Q$ – середина отрезка $AC$. Окружность с центром в $O$, описанная около $APQ$, вторично пересекает $AB$ в точке $K$. Докажите, что прямые $PO$ и $KQ$ пересекаются на биссектрисе угла $ABC$.

Решение

Пусть $R$, $S$ – середины отрезка $AB$ и меньшей дуги $AC$ соответственно. Докажем, что прямые $PO$ и $KQ$ пересекаются на окружности $PRQS$.

Поворотная гомотетия с центром $P$, переводящая окружность $APQ$ в окружность $ABC$, переводит $K$ в $B$, $Q$ в $C$, а $O$ в центр окружности $ABC$, лежащий на прямой $PR$. Следовательно, угол $OPR$ равен углу между прямыми $KQ$ и $BC$, который равен углу $KQR$, т.е. точка пересечения $PO$ и $KQ$ лежит на окружности $PQR$.

Покажем теперь, что $PO$ и биссектриса $BS$ угла $B$ также пересекаются на окружности $PRQS$. Поскольку $BS\parallel AP$ и $QS\perp AC$, то $\angle OPQ=|90^{\circ}-\angle QAP|=|90^{\circ}-\angle CTB|=\angle BSQ$, где $T$ – точка пересечения $BS$ и $AC$, т.е. четырехугольник, образованный прямыми $PO$, $PQ$, $QS$ и $BS$, – вписанный.

Таким образом, прямые $PO$, $KQ$ и $BS$ пересекают окружность $PRQS$ в одной и той же точке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2022
класс
Класс	9
задача
Номер	9.4