Условие
Про треугольник $ABC$ известно, что точка, симметричная ортоцентру относительно центра описанной окружности, лежит на стороне $BC$. Пусть $A_1$ – основание высоты, проведенной из точки $A$. Докажите, что $A_1$ лежит на окружности, проходящей через середины трёх высот треугольника $ABC$.
Решение
Расстояние от центра описанной окружности до стороны $BC$ равно половине отрезка $AH$, где $H$ – ортоцентр. С другой стороны, из условия задачи следует, что это расстояние равно половине отрезка $HA_1$. Следовательно, $H$ – середина $AA_1$. Пусть $A_0$ – середина $BC$. Так как середины $X$, $Y$ высот $BB_1$, $CC_1$ лежат на средних линиях треугольника, углы $A_0XH$ и $A_0YH$ прямые, т.е. точки $X$ и $Y$ лежат на окружности с диаметром $A_0H$. Очевидно, что $A_1$ тоже лежит на этой окружности.
Источники и прецеденты использования
