Задача 67217

Темы:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ] [ Планиметрия (прочее) ]

Сложность: 6 Классы: 8,9,10,11

Условие

Авторы: Рябов П., Заславский А.А.

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $B$ отмечены такие точки $P$ и $Q$ на $AC$, что $AP=PB$, $BQ=QC$. Окружность $BPQ$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $N$ и $M$ соответственно.

а) (П.Рябов) Докажите, что точка $R$ пересечения $PM$ и $NQ$ равноудалена от $A$ и $C$.

б) (А.Заславский) Пусть $BR$ пересекает $AC$ в точке $S$. Докажите, что $MN\perp OS$, где $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$.

Решение

а) Пусть $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда $OP\perp AB$ и $OQ\perp BC$. Кроме того, $\angle NQA=\angle NBP=\angle A$ и аналогично $\angle MPC=\angle C$. Поэтому $\angle PRQ+\angle POQ=\pi$ и четырехугольник $OPRQ$ – вписанный. Следовательно, $\angle PRO=\angle PQO=\pi/2-\angle C$, т.е. диагонали четырехугольника перпендикулярны и $AR=AC$.

б) Из п.а) следует, что треугольники $QRP$ и $ABC$ ортологичны с центром $O$ (то есть перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника $QRP$ на стороны $ABC$ пересекаются в точке $O$). Кроме того, они перспективны с центром $S$ (прямые, соединяющие соответствующие вершины треугольников, пересекаются точке $S$). По теореме Сонда прямая $OS$ перпендикулярна оси перспективы – прямой $MN$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2023
Заочный тур
задача
Номер	12 [8-11 кл]