Задача 67221

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Кожевников П.А.

В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_A$ и $BH_B$. Прямая $H_AH_B$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P$ и $Q$. Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно $BC$, точка $B'$ симметрична точке $B$ относительно $CA$. Докажите, что $A', B'$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности.

Решение

Поскольку точки, симметричные ортоцентру относительно сторон треугольника, лежат на описанной окружности, то $H_AH\cdot H_AA'=H_AB\cdot H_AC=H_AP\cdot H_AQ$, следовательно, точки $P$, $Q$, $H$, $A'$ лежат на одной окружности. Аналогично $P$, $Q$, $H$, $B'$ лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2023
Заочный тур
задача
Номер	16 [9-11 кл]