Задача 67310

Темы:    [ Теория игр (прочее) ] [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Бутырин Б.

Петя и Вася играют на отрезке $[0; 1]$, в котором отмечены точки $0$ и $1$. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждый ход игрок отмечает ранее не отмеченную точку отрезка. Если после хода очередного игрока нашлись три последовательных отрезка между соседними отмеченными точками, из которых можно сложить треугольник, то сделавший такой ход игрок объявляется победителем, и игра заканчивается. Получится ли у Пети гарантированно победить?

Решение

Первым ходом Петя отмечает середину отрезка $AB$  – точку $X$. Пусть Вася сходил, без потери общности, в левый отрезок точкой $Y$. Образуются три отрезка, один из которых (а именно $XB$) равен сумме двух других, поэтому Вася не сможет выиграть на первом своём ходу, и игра продолжится. Далее Пете остаётся отметить середину правого отрезка $Z$.

Тогда отрезки $YX$, $XZ$ и $ZB$ образуют треугольник: в сумме $XZ$ и $ZB$, как половина $AB$, больше $YX$, а неравенства $XZ < YX + ZB$ и $ZB < YX + XZ$ верны в силу равенства $XZ$ и $ZB$.

Ответ

Да, получится.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	87
Год	2024
класс
Класс	10
задача
Номер	1