В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки H_a, H_c – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно, прямые AH_c, CH_a пересекаются в точке K. Докажите, что  ∠MBK = 90°.

   Решение

Постройте вписанно-описанный четырёхугольник по двум противоположным вершинам и центру вписанной окружности.

   Решение

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Описанные четырехугольники ] [ Четырехугольники (построения) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Постройте вписанно-описанный четырёхугольник по двум противоположным вершинам и центру вписанной окружности.

Решение

Пусть центр $I$ вписанной окружности четырехугольника $ABCD$ лежит внутри треугольника $ABC$. Тогда $\angle AIC=\angle ABC+\angle IAB+\angle ICB=\angle ABC+\pi/2$. Таким образом, если даны точки $A$, $C$, $I$, то мы можем найти угол $B$ и построить описанную окружность с центром $O$. Кроме того, из теоремы Понселе следует, что прямая $OI$ проходит через точку $L$ пересечения диагоналей четырехугольника, середины $M$, $N$ диагоналей $AC$, $BD$ соответственно лежат на окружности с диаметром $OL$, а прямая $MN$ проходит через $I$. Поэтому мы можем построить точку $N$, а затем и диагональ $BD$.

Источники и прецеденты использования