Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что треугольники abc и a'b'c' собственно подобны, тогда и только тогда, когда

   Решение

---

Докажите, что барицентрические координаты точки X, лежащей внутри треугольника ABC, равны (S_BCX : S_CAX : S_ABX).

   Решение

---

Вадим и Лёша спускались с горы. Вадим шёл пешком, а Лёша съезжал на лыжах в семь раз быстрее Вадима. На полпути Лёша упал, сломал лыжи и ногу и пошёл в два раза медленней Вадима. Кто первым спустится с горы?

   Решение

---

Найти все рациональные положительные решения уравнения  x^y = y^x  (x ≠ y).

   Решение

---

Имеется неограниченное количество плиток в форме многоугольника M. Будем говорить, что из этих плиток можно сложить паркет, если ими можно покрыть круг сколь угодно большого радиуса так, чтобы не было ни просветов, ни перекрытий.
а) Докажите, что если M — выпуклый n-угольник, где n7, то паркет сложить нельзя.
б) Приведите пример такого выпуклого пятиугольника с попарно непараллельными сторонами, что паркет сложить можно.

   Решение

---

Числа a, b, c и d таковы, что  a² + b² + c² + d² = 4.  Докажите, что  (2 + a)(2 + b) ≥ cd.

   Решение

---

В классе 33 ученика, всем вместе 430 лет.
Докажите, что если выбрать 20 самых старших из них, то им вместе будет не меньше, чем 260 лет. (Возраст любого ученика – целое число.)

   Решение

---

Дан отрезок $AB$. Пусть $C$ – произвольная точка на серединном перпендикуляре к $AB$; $O$ – точка на описанной окружности треугольника $ABC$, противоположная $C$; эллипс с центром $O$ касается прямых $AB$, $BC$, $CA$. Найдите геометрическое место точек касания эллипса с прямой $BC$.

   Решение

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан отрезок $AB$. Пусть $C$ – произвольная точка на серединном перпендикуляре к $AB$; $O$ – точка на описанной окружности треугольника $ABC$, противоположная $C$; эллипс с центром $O$ касается прямых $AB$, $BC$, $CA$. Найдите геометрическое место точек касания эллипса с прямой $BC$.

Решение

Пусть $M$ – середина $AB$, $N$ – точка, симметричная $M$ относительно $O$, $P$ – точка пересечения $PN$ и $BC$, $U$, $V$ – точки пересечения прямой, проходящей через $N$ и параллельной $AB$, с прямыми $BC$, $AC$ соответственно.

Так как треугольники $BPQ$ и $UPN$ подобны, $BP:PN=BQ:UN=AB:UV$, т.е. прямая, проходящая через $P$ и параллельная $AB$, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции $ABUV$. Следовательно, вписанный в трапецию эллипс касается $BC$ в точке $P$. Поскольку $PN\parallel OB\perp BC$, эта точка лежит на окружности с диаметром $BQ$. Очевидно, что любая точка окружности, кроме $B$ и $Q$, принадлежит искомому ГМТ.

Ответ

Окружность с диаметром $BQ$, где $Q$ – точка на луче $AB$ такая, что $AQ=3AB/2$, без точек $B$ и $Q$.

Источники и прецеденты использования