Условие
Пекарь испёк прямоугольный лаваш и разрезал его на $n^2$ прямоугольников, сделав $n–1$ горизонтальных разрезов и $n–1$ вертикальных. Оказалось, что округлённые до целого числа площади получившихся прямоугольников равны всем натуральным числам от $1$ до $n^2$ в некотором порядке. Для какого наибольшего $n$ это могло произойти? (Полуцелые числа округляются вверх.)
Решение
Пример пирога представлен в виде таблицы, указаны ширина столбцов, высота строк и площадь клеток:
Докажем, что $n \leqslant 4$. Переставим строки и столбцы таблицы так, чтобы высоты строк росли сверху вниз, а ширины столбцов – слева направо. Пусть числа в угловых клетках равны $a < b < c < d$. Ясно, что $a$ – левое верхнее, $d$ – правое нижнее, причём $ad = bc$. Пусть $b$ – правое верхнее. Округлённые числа будем обозначать штрихами. Тогда $a' = 1$, $d' = n^2$, $b' \geqslant n$ (оно не меньше всех чисел верхней строки), $c' \geqslant 2n – 1$ (оно не меньше всех чисел первого столбца и верхней строки). Значит, $a < 1{,}5$, $d < n^2 + 0{,}5$, $b \geqslant n – 0{,}5$, $c \geqslant 2n – 1{,}5$. Поэтому
$$1{,}5(n^2 + 0{,}5) > ad = bc > (n – 0{,}5)(2n – 1{,}5),$$ откуда $1{,}5n^2 + 0{,}75 > 2n^2 – 2{,}5n + 0{,}75$, то есть $2{,}5n > 0{,}5n^2$, откуда $n < 5$.
Ответ
Для $n=4$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Дата |
2023/24 |
|
Номер |
45 |
|
вариант |
|
Вариант |
осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс |
|
задача |
|
Номер |
6 |
