Версия для печати
Убрать все задачи

---

В волейбольном турнире каждые две команды сыграли по одному матчу.
  а) Докажите, что если для каждых двух команд найдётся третья, которая выиграла у этих двух, то число команд не меньше семи.
  б) Постройте пример такого турнира семи команд.
  в) Докажите, что если для любых трёх команд найдётся такая, которая выиграла у этих трёх, то число команд не меньше 15.

   Решение

Темы:    [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Можно ли на бесконечной клетчатой плоскости расставить бесконечное количество шахматных коней (не более одного коня в клетку) так, чтобы каждый конь бил ровно 5 других?

Решение

Два примера на рисунке. Каждая расстановка продолжается циклично как по горизонтали, так и по вертикали.

Ответ

Да, возможно.

Замечания

1. Существуют и другие расстановки. Например, можно поставить в каждой строке 8 коней в ряд, в каждой следующей строке – на 2 клетки левее, чем в предыдущей.

Эти расстановки принципиально различаются тем, что в первом примере «плотность коней» – 2/5, во втором – 5/8, а в этом плотность нулевая. Предлагаем подумать, какие ещё значения плотности реализуются.
2. Можно раскрасить всю плоскость в 5 цветов, как показано на рисунке ниже. При этом конь в каждой клетке каждого цвета будет бить четыре клетки того же цвета и по одной клетке каждого из остальных цветов.

Таким образом, для построения примера к задаче достаточно выбрать какие-то два цвета и поставить коней на все клетки этих цветов. Аналогично можно построить пример, в котором каждый конь бьёт 6 или 7 других: для этого достаточно взять все клетки трёх или четырёх цветов.
См. также задачу 67450.

Источники и прецеденты использования