Задача 67517
|
|
 |
Условие
На плоскости расположены круг и правильный 100-угольник, имеющие одинаковые площади. Какое наибольшее количество вершин 100-угольника может находиться внутри круга (не на границе)?Решение
Заметим, что 51 вершина не помещается, так как тогда среди них нашлись бы две диаметрально противоположные точки, их можно было бы поместить на диаметр круга, и весь 100-угольник поместился бы в данном круге вместе со своим описанным кругом, площадь которого больше.Докажем, что 50 вершин поместить можно. Заметим, что диагональ, соединяющая 1-ю и 50-ю вершины — это диаметр вписанного круга 100-угольника, площадь этого круга меньше площади 100-угольника. Поэтому внутрь диаметра исходного круга 1-я и 50-я вершины поместятся. Рассмотрим тогда описанную окружность $\omega$ нашего 100-угольника. Она не может лежать целиком в исходном круге, а значит, пересекается с окружностью исходного круга в двух точках. Тогда одна из дуг окружности $\omega$ (на самом деле меньшая) поместится внутри исходного круга, то есть заведомо поместятся 50 вершин 100-угольника.
