Задача 67521
|
|
 |
Условие
По кругу стоит 99 тарелок, на них лежат булочки (на тарелке может быть любое число булочек или вовсе их не быть). Известно, что на любых 20 подряд идущих тарелках лежит суммарно хотя бы $k$ булочек. При этом ни одну булочку ни с одной тарелки нельзя убрать так, чтобы это условие не нарушилось. Какое наибольшее суммарное число булочек может лежать на тарелках?Решение
Пример. Пронумеруем тарелки по кругу и положим по $k$ булочек на тарелки, номера которых делятся на 11. Остальные тарелки будут пустыми. Тогда для каждой непустой тарелки найдутся 20 подряд идущих тарелок, среди которых она — единственная непустая. Поэтому булочку с неё снять нельзя.Оценка. Пусть ни одной булочки убрать нельзя. Тогда для каждой непустой тарелки $A$ есть цепочка из 20 тарелок, содержащая $A$, в которой суммарно ровно $k$ булочек. Рассмотрим все такие цепочки.
Докажем, что если цепочек не меньше 10, то одна из цепочек покрыта остальными. Предположим противное, возьмём тогда 10 цепочек и выделим в каждой из них тарелку, не покрытую остальными цепочками. Обозначим эти тарелки $T_1, T_2, \ldots, T_{10}$, двигаясь по часовой стрелке, так что $T_i$ принадлежит цепочке $C_i$. Тогда каждая тарелка на дуге между соседними $T_i$ и $T_{i+1}$ принадлежит не более чем двум цепочкам — $C_i$ и $C_{i+1}$. Отсюда $10\cdot 20 = |C_1|+|C_2|+\ldots + |C_{10}|\leqslant 2\cdot 99 - 10$. Противоречие.
Если одна цепочка покрыта остальными, выбросим её. Продолжая так далее, дойдем до ситуации, когда у нас (различных) цепочек не более 9 и эти цепочки покрывают все непустые тарелки. Тогда в них не более $9k$ булочек, тем самым оценка доказана.
Вариация оценки. Пусть ни одной булочки убрать нельзя. Тогда для каждой непустой тарелки $A$ есть цепочка из 20 тарелок, содержащая $A$, в которой всего ровно $k$ булочек. Если такая цепочка граничит с пустой тарелкой, то можно рассмотреть новую цепочку — эту пустую тарелку добавить, а одну тарелку с противоположного края удалить, и в новой цепочке будет не более $k$ булочек, а значит, ровно $k$ булочек. Двигаясь так по кругу, получим, что любая тарелка (не только непустая) входит в какую-то цепочку, содержащую ровно $k$ булочек. Рассмотрим все такие цепочки. Вместе они покрывают все 99 тарелок.
Заметим, что если какая-то тарелка принадлежит сразу трём цепочкам, то одна из этих трёх цепочек содержится в объединении двух других (тут мы используем, что цепочки «не слишком длинные» — три цепочки не могут покрыть весь круг) и такую цепочку можно выкинуть, сохранив условие «цепочки покрывают все тарелки». Действуя так, можно добиться ситуации, когда никакие три цепочки не имеют общей тарелки. Тогда перекрываются между собой только «соседние» цепочки.
Занумеруем цепочки, идя по кругу. Если цепочек хотя бы 10, то имеется 5 неперекрывающихся цепочек длины 20 (например, цепочки с нечётными номерами), что невозможно, так как всего тарелок меньше 100. Значит, цепочек не более 9, а тогда булочек не более $9k$.
